martes, 4 de agosto de 2009

LOS NÚMEROS





Los Números han surgido a lo largo de la historia como una herramienta para resolver un sin fin de problemas.
Actualmente lo vemos como algo ya terminado y tendremos que creer que siempre existieron así; sin embargo, en cada época, cuando se introdujo algún número nuevo o grupo de números nuevo, se suscitaron polémicas muy fuertes y estos números tardaron muchos años en ser aceptados por la comunidad en general.
Los primeros números que surgieron históricamente fueron los números naturales 1, 2, 3, 4, ... que nos sirven para contar. Aunque el cero apareció después, es más práctico considerarlo dentro de los números naturales. Denotamos por N al conjunto de los números naturales, es decir,

N={0,1,2,3,4,.....}

Uno de los problemas que nos enfrentamos al considerar únicamente a los números naturales, es que al restar dos de ellos, el resultado no siempre es otro natural. Por ejemplo 3 - 7 en la primaria nos enseñaron que "no se puede efectuar", y lo que sucede es que la respuesta no es un número natural.
Para poder restar cualquier par de números naturales es necesario introducir los números enteros negativos que junto con los números naturales constituyen los números enteros:

Z ={...,-4, -3, -2, -1,0,1,2,3,4,...}
Así como enfrentamos el problema de no poder restar si tenemos sólo números naturales, también enfrentamos el problema de no poder dividir si tenemos solo números enteros; por ejemplo si dividimos 7/5 no obtenemos un número entero, por lo que es necesario ampliar el conjunto de números.
Consideremos ahora el conjunto de los números racionales que son aquellos que pueden escribirse como cociente de dos números enteros, donde el denominador es diferente de 0.

Q= {p/q p, q ,€ Z , q≠0},
Observemos que todos los números se pueden escribir como el cociente de él mismo entre uno, n= n/1, por lo que todo número entero es un número racional; así,

N c Z c Q

Los números racionales son suficientemente buenos para la mayoría de las operaciones que realizamos cotidianamente; sin embargo, ya desde los pitagóricos, en el siglo V a. de C, se dieron cuenta de que con una regla y un compás se podían construir segmentos cuya longitud no se podía expresar como cociente de dos números enteros. Por ejemplo, en el triángulo rectángulo cuyos catetos miden 1, la hipotenusa mide raíz de 2 y este número no se puede escribir en la forma p/q con p y q enteros; es decir, raíz de 2 no es un número racional.

Todos los números racionales pueden identificarse con puntos en una recta. De hecho de que, raíz de 2 no sea un número racional, significa que hay un punto en la recta al que no se le ha asociado ningún número racional; de hecho, hay una infinidad de dichos puntos, por lo que es necesario inventar otros números, llamados números irracionales, para los puntos de la recta a los que no se les ha asociado ningún número racional.

Por lo tanto podemos inferir que el conjunto de los número racionales y el conjunto de los números irracionales constituyen el conjunto de los "Números Reales".

Q U I = R

Finalmente, los números reales también presentan un problema similar al de la resta en los números naturales y la división de en los números enteros; este problema consiste en que no se puede sacar raíz cuadrada de los números negativos; por ejemplo raíz de -4 no existe, ya que no hay ningún número real x tal que x al cuadrado sea igual a -4. Por esto, es necesario introducir más números; los números complejos, para poder, ahora sí, obtener la raíz cuadrada, o cualquier otra raíz, de todo número real, o más en general, de todo número complejo.